xawa雑記帳: GRAPES でアステロイドを描く

2013年3月18日月曜日

前回の記事でグラフを描くのに、関数グラフ描画ソフト GRAPES を使ってみた。

このソフトがあまりにもすごいので今回はこれでアステロイド曲線を描いてみる。

陰関数でアステロイド曲線を描く

アステロイド曲線の式は陰関数表示では以下のように表わされる。

x^2/3 + y^2/3 = a^2/3

Grapes の陰関数として上の式を記述してグラフを描いてみる。

右上の象限にしかグラフが描画されない。
x² + y² = 1 であればちゃんと円が描かれるのだが。
いくつかやってみた結果、冪乗の冪指数が分数の場合は値域として正の値しか取れない模様。

今度はパラメータ表示を使ってみる。
アステロイドのパラメータ表示は以下のようになる。

x = a・cos³θ， y = a・sin³θ

Grapes の曲線としてこの式を記述してグラフを描く。

今度は期待通りにアステロイド全体を描くことができた。
角の単位は「度数法」を使っているので、θの変域は０ ≦ θ ≦ ３６０になっている。

今度はパラメータを動かしながら包絡線としてアステロイドを描く。

ｙ = －ｘ・cosθ／sinθ ＋ cosθ

この式を、θをパラメータとして動かしながら描いてみる。

パラメータθは式を記述するときには「＠」を使う。残像を有効にして、θ を０～９０°まで５°刻みに動かしてみた。アステロイドが包絡線として現れている。
このように、ものすごく簡単に包絡線がかけてしまう。

さらに、３６０°まで動かす。

アステロイド全体が描けた。
動線が他の象限まで伸びている関係で包絡線をまたがる形で線が引かれてしまうがそれはやむを得ないところ。

こんな感じで簡単にグラフが描けてしまう。デカルトの正葉線のような曲線も陰関数表示で簡単に描けてしまう。
またいろいろやってみよう。